Soal Matematika (Sifat Layang-layang)

Tentukan besar dari x dan y serta keliling layang-layang LOVE!

Pembahasan
Karena sudut-sudut selain sudut puncak dari layang-layang merupakan sudut-sudut yang kongruen, maka y = 113°. Jumlah sudut dalam segiempat adalah 360°, maka x + y + 90° + 113° = 360°. Sehingga, x = 360° – (113° + 90° + 113°) = 44°.
Sesuai dengan definisi layang-layang, EV = OV = 11 cm. Demikian juga LO = LE = 19 cm. Sehingga, keliling layang-layang LOVE, K = 19 + 11 + 11 + 19 = 60.
Jadi, nilai x, y, dan keliling layang-layang LOVE secara berturut-turut adalah 44°, 113°, dan 60 cm.

Semoga bermanfaat....

Read More

Soal Matematika (Aturan Cosinus)

Perhatikan gambar berikut!

Tentukan nilai x dan α!
Pembahasan
Nilai x dapat ditentukan seperti berikut:

Begitu juga untuk α, dapat ditentukan dengan menggunakan aturan cosinus seperti berikut:

Jadi, nilai x dan α secara berturut-turut adalah 47,21 cm dan 64,43°.

Semoga bermanfaat....

Read More

Soal Matematika (Trigonometri)

Sebuah pohon tumbuh secara vertikal pada daerah pegunungan. Permukaan tanah dari daerah pegunungan tersebut memiliki kemiringan 16° terhadap garis horizontal. Apabila panjang bayangan pohon tersebut adalah 18 meter ketika besar sudut elevasi yang dihasilkan oleh sinar matahari sebesar 68°, tentukan tinggi dari pohon tersebut?

Pembahasan
Misalkan α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh pohon dan permukaan tanah, maka:

α + 90° + 16° = 180°

Sehingga diperoleh α = (180 – 90 – 16)° = 74°.
Misalkan β adalah sudut lancip yang dibentuk oleh sinar matahari dengan permukaan tanah, maka:

β = (68 + 16)° = 84°

Sudut-sudut α dan β merupakan sudut-sudut dalam segitiga. Selanjuntya kita tentukan besar sudut dalam segitiga yang lainnya, misalkan θ, yaitu sudut yang dibentuk oleh pohon dengan sinar matahari. Untuk menentukan besar θ, kita gunakan sifat jumlah sudut dalam segitiga.

α + β + θ = 180°

Sehingga diperoleh θ = (180 – 74 – 84)° = 22°. Setelah itu kita tentukan tinggi pohon, misalkan t, dengan menggunakan aturan sinus: (sin β) / t = (sin θ) / 18. Diperoleh, t = (18 ∙ sin β) / sin θ = (18 ∙ sin 84°) / sin 22° ≈ 47,79. Jadi, tinggi pohon tersebut adalah sekitar 47,79 meter.

Semoga Bermanfaat.....

Read More

Soal Matematika (Garis dan Sudut)

Perhatikan gambar berikut!

Hitunglah besar sudut a, b, c, d, e, f, g, h, p, dan n! Jelaskan bagaimana kamu dapat menemukan besar sudut d dan h!
Pembahasan
Perhatikan bahwa d = e, dan d + e + e = 180°. Sehingga diperoleh d = e = 38°. Selanjutya, dari sifat segitiga sama kaki, maka 2d + h = 180°, sehingga h = 104°. Sudut h dan k merupakan sudut-sudut yang berpelurus, maka k = (180 – 104)° = 76°. Sedangkan sudut f dapat dicari dari persamaan 66° + e + f = 180°, sehingga diperoleh f = 76°. Karena sudut-sudut f, g, dan d saling berpelurus maka g + f + d = 180°, maka g = 66°.
Perhatikan sudut a merupakan pelurus dari sudut yang besarnya 56°, maka a = 124°. Sudut b bertolak belakang dengan sudut yang besarnya 56°, maka b = 56°. Sudut c sehadap dengan sudut b, maka c = b = 56°. Selanjutnya besar n dapat dicari dengan menggunakan informasi bahwa sudut-sudut d, c, dan n berpelurus. Diperoleh n = 86°. Sedangkan besar sudut p dapat dicari dengan menggunakan jumlah sudut dalam segitiga, yaitu p + n + 56° = 180°. Diperoleh p = 38°.

Semoga Bermanfaat.....

Read More

Soal Matematika (Volume Bangun Ruang)

Tiga buah logam yang berbentuk bola yang memiliki jari-jari 7 cm, dimasukkan ke dalam tabung yang berisi air di dalamnya. Apabila setelah logam tersebut dimasukkan, permukaan air dalam tabung tersebut naik setinggi 2 cm, tentukan jari-jari tabung tersebut!
Pembahasan
Volume tiga bola logam sama dengan volume air yang naik. Sehingga,

Jadi, jari-jari tabung tersebut adalah 7√(14) cm.

Semoga Bermanfaat.....

Read More

Soal Matematika (Perbandingan)

Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 50 hari oleh 30 orang pekerja. Disebabakan sesuatu hal, setelah berjalan 20 hari, pekerjaan dihentikan selama 5 hari. Agar selesai tepat waktu, diperlukan tambahan pekerja sebanyak berapa?

Pembahasan
Dengan bertambahnya pekerja, maka waktu pengerjaan akan berkurang. Maka permasalahan di atas termasuk dalam permasalahan perbandingan berbalik nilai. Untuk memahami permasalahan di atas perhatikan diagram di bawah ini:

Perhatikan pada soal, diketahui bahwa suatu perkerjaan dapat diselesakan oleh 30 orang dalam waktu 50 hari. Misalkan 1 orang selama 1 hari dapat menyelesaikan 1 pekerjaan. Maka selama 50 hari, sebanyak 30 orang dapat menyelesaikan (50 × 30 = 1.500) pekerjaan. Maka sebanyak 1.500 pekerjaan inilah yng harus diselesaikan.

1. Periode pertama. Pada periode pertama, terdapat 30 orang dan 20 hari. Sehingga banyaknya pekerjaan yang dapat diselesaikan adalah (20 × 30 = 600) pekerjaan.
2. Periode kedua. Pada periode kedua, selama 5 hari, tidak ada orang yang bekerja. Atau dengan kata lain banyaknya pekerja pada periode ini ada 0 orang. Sehingga banyaknya pekerjaan yang diselesaikan pada periode tersebut adalah (0 × 5 = 0) pekerjaan.
3. Periode ketiga. Agar pekerjaan selesai tepat waktu, ditambahkan beberapa orang pekerja. Jika awalnya banyak pekerja adalah 30 orang dan banyaknya pekerja yang ditambahkan adalah n, maka banyaknya pekerja pada periode ketiga dapat disimbolkan (30 + n) orang. Sedangkan pada periode ketiga ini terdapat waktu 50 – (20 + 5) = 25 hari untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut. Banyaknya pekerjaan yang dapat diselesaikan pada periode ketiga dapat dicari dengan mengalikan banyaknya hari dengan banyaknya pekerja, yaitu: 25 × (30 + n) = 25 × 30 + 25 × n = 750 + 25n

Sehingga banyaknya pekerjaan yang dapat diselesaikan pada periode ketiga adalah 750 + 25n pekerjaan. Total pekerjaan yang dapat diselesaikan pada periode pertama sampai periode ketiga adalah sebanyak 600 + 0 + 750 + 25n.
Padahal sesuai rencana, selama ketiga periode tersebut, digunakan untuk menyelesaikan 1.500 pekerjaan. Sehingga,

Jadi banyaknya pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan tersebut selesai tepat waktu adalah 6 orang.
Cara yang Lebih Sederhana
Penyelesaian di atas, dapat disajikan pada tabel berikut.

Dengan menggunakan perhitungan berdasarkan hasil kali, permasalahan di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:

Jadi, tambahan pekerja yang diperlukan adalah sebanyak 6 orang.

Semoga Bermanfaat

Read More

Simetri Putar

Mika memiliki lukisan geometris yang berbentuk persegi. Ia akan memasang lukisan tersebut pada bingkai photo. Lukisan geometris Mika dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Ada berapa cara Mika memasang lukisan tersebut pada bingkainya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita bantu Mika untuk memasang selotip beda warna pada masing-masing sisinya. Setelah itu, perhatikan ilustrasi berikut!

Masing-masing kemungkinan ini dibedakan oleh suatu putaran. Kemungkinan pertama diperoleh ketika memutar lukisan tersebut sebesar 90°. Ketika diputar 90°, selotip merah akan menempati selotip kuning, selotip kuning menempati selotip hijau, selotip hijau menempati selotip biru, dan selotip biru menempati selotip merah. Kemungkinan kedua diperoleh ketika memutar lukisan tersebut sebesar 180°. Ketika diputar 180°, selotip merah akan menempati selotip hijau, selotip kuning menempati selotip biru, selotip hijau menempati selotip merah dan selotip biru menempati selotip kuning. Kemungkinan ketiga diperoleh ketika memutar lukisan tersebut sebesar 270°. Ketika diputar 270°, selotip merah akan menempati selotip biru, selotip kuning menempati selotip merah, selotip hijau menempati selotip kuning, sedangkan selotip biru menempati selotip hijau. Bagaimaan dengan kemungkinan keempat?
Kemungkinan keempat diperoleh ketika kita memutar lukisan tersebut sejauh 360°. Ketika diputar 360°, semua selotip akan menempati tempatnya semula. Selotip merah akan kembali ke selotip merah, selotip kuning menempati selotip kuning, selotip hijau menempati selotip hijau, dan selotip biru kembali menempati selotip biru.
Berdasarkan contoh tersebut, ternyata persegi dapat menempati bingkainya dengan tepat sebanyak 4 kali dalam satu putaran penuh. Dikatakan bangun datar persegi mempunyai simetri putar 4.

Banyaknya simetri putar suatu bangun adalah banyaknya kemungkinan benda itu diputar sehingga tepat menempati bingkainya kembali.

Banyaknya suatu bangun dapat menempati bingkainya dalam sekali putaran menunjukkan tingkat simetri putar bangun tersebut. Bagaimana cara kita mengetahui tingkat simetri putar yang dimiliki oleh suatu bangun datar? Berikut ini akan dibahas caranya.
Menentukan Tingkat Simetri Putar Suatu Bangun Datar
Misalkan kita akan menentukan tingkat simetri putar yang dimiliki oleh bangun datar segi enam beraturan. Berikut langkah-langkahnya:

1. Tentukan titik pusat putaran dari bangun datar yang akan ditentukan. Titik pusat putaran/rotasi bangun datar segi enam beraturan terletak pada perpotongan sumbu simetri dari bangun datar tersebut.
2. Jiplaklah segi enam beraturan tersebut pada kertas gambar. Bangun datar segi enam beraturan yang terbentuk pada kertas gambar akan menjadi bingkai dari segi enam beraturan yang akan kita tentukan tingkat simetri putarnya.
3. Berilah label pada A, B, C, D, E, dan F masing-masing titik sudut segi enam beraturan dan bingkainya.
   
4. Putarlah segi enam beraturan tersebut sejauh 360° atau satu putaran. Hitunglah berapa kali segi enam beraturan tersebut tepat menempati bingkainya kembali dalam satu putaran tersebut.
5. Ternyata segi enam beraturan dapat menempati bingkainya kembali 6 kali dalam satu kali putaran penuh. Ini artinya tingkat simetri putar dari segi enam beraturan adalah 6.

Dari kegiatan di atas kita telah menemukan bahwa segi enam beraturan memiliki tingkat simetri putar 6. Bagaimana dengan segi-n beraturan lainnya? Bangun segi-n beraturan memiliki tingkat simetri putar sebanyak n. Ini artinya, segi lima beraturan memiliki tingkat simetri putar 5, segi tujuh beraturan tingkat simetri putarnya 7, segi delapan beraturan tingkat simetri putarnya 8, dan seterusnya.
Sekarang, tentukan tingkat simetri putar yang dimiliki oleh masing-masing bangun datar berikut ini.

Read More

Sifat-Sifat Layang-layang

Layang-layang adalah bangun datar segiempat yang memiliki 2 pasang berbeda sisi berdekatan yang sama panjang. Apabila kita melukis dua segitiga sama kaki berbeda yang memiliki sisi alas di ruas garis yang sama dan menghapus alas tersebut, kita memperoleh bangun datar layang-layang. Pada segitiga sama kaki, sudut puncak adalah sudut yang diapit oleh dua sisi yang kongruen. Begitu juga pada layang-layang, dua sudut yang diapit oleh masing-masing pasangan dua sisi yang kongruen disebut juga dengan sudut puncak. Sedangkan dua sudut lainnya merupakan bukan sudut puncak.

Layang-layang juga memiliki satu sumbu simetri, sama seperti segitiga sama kaki. Kita dapat menggunakan sifat ini untuk menyelidiki sifat-sifat layang-layang lainnya.
Investigasi: Apa Sajakah Sifat-sifat dari Layang-layang?
Pada penyelidikan ini kita akan melihat sudut-sudut dan diagonal-diagonal yang dimiliki oleh layang-layang untuk menemukan sifat-sifatnya.
Langkah 1: Buatlah dua ruas garis tidak kongruen yang saling berhubungan pada kertas. Kemudian lipatlah kertas menurut kedua ujung dari ruas garis tersebut. Selanjutnya blatlah kedua ruas garis tersebut pada sisi kertas yang lainnya.
Langkah 2: Bandingkanlah besar sudut dari masing-masing pasangan sudut yang berhadapan dengan melipat kertas sehingga sudut-sudut yang berhadapan bisa saling berimpit. Apakah sudut-sudut puncaknya kongruen? Apakah sudut-sudut selain sudut puncak kongruen?

Sifat Sudut Layang-layang

Sudut-sudut selain sudut puncak dari layang-layang merupakan sudut-sudut yang kongruen.

Langkah 3: Lukislah diagonal-diagonal dari layang-layang. Bagaimanakah hubungan antara diagonal-diagonal tersebut?

Sifat Diagonal-diagonal Layang-layang

Diagonal-diagonal layang-layang saling tegak lurus.

Adakah sifat lain dari diagonal layang-layang?
Langkah 4: Bandingkanlah panjang segmen dari masing-masing diagonal. Apakah diagonal tersebut membagi diagonal lainnya menjadi 2 bagian yang sama panjang?

Sifat Diagonal sebagai Garis Berat

Diagonal yang menghubungkan sudut-sudut puncak membagi diagonal lainnya menjadi 2 bagian yang sama panjang.

Langkah 5: Lipatlah kertas menurut diagonal-diagonalnya. Apakah diagonal-diagonal tersebut membagi 2 sama besar sudut-sudut yang dihubungkannya?

Sifat Diagonal sebagai Garis Bagi

Diagonal yang menghubungkan sudut-sudut puncak membagi sudut-sudut puncak menjadi 2 bagian yang sama besar.

Contoh Soal..


Semoga bermanfaat....

Read More

Pencerminan (Materi Matematika)

Bercermin merupakan kegiatan yang setiap hari kamu lakukan. Setiap kali kamu bercermin, apa yang dapat kamu nyatakan mengenai banyanganmu? Apakah bayangan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan kamu? Apakah setiap kali kamu mendekat ke cermin, bayanganmu juga ikut mendekat ke cermin? Bagaimana dengan posisi menghadap bayangan, apakah tangan kananmu menjadi tangan kiri dari bayangan? Berikut ini ilustrasi orang yang sedang bercermin.

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari sifat-sifat pencerminan bangun datar. Dari ilustrasi di atas, kita dapat memperoleh sifat-sifat pencerminan sebagai berikut:

1. Objek dan bayangannya selalu sama.
2. Jarak setiap titik pada objek dan cermin sama dengan jarak setiap titik pada bayangan dan cermin, s = s’.
3. Tinggi objek sama dengan tinggi bayangannya, h = h’.
4. Garis yang menghubungkan titik pada objek dengan titik pada bayangannya selalu tegak lurus dengan cermin.

Selanjutnya, perhatikan contoh pencerminan bangun datar berikut!

Sesuai dengan sifat pencerminan, kita dapat memperoleh hal-hal sebagai berikut:

1. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’, akibat dari pernyataan ini, luas segitiga ABC sama dengan luas segitiga A’B’C’.
2. CP = C’P, AQ = A’Q, dan BR = B’R. Atau dengan kata lain, jarak titik sudut segitiga ABC ke cermin sama dengan jarak titik sudut A’B’C’ ke cermin.
3. Tinggi segitiga ABC sama dengan tinggi segitiga A’B’C’.
4. Ruas garis AA’, BB’, dan CC’ semuanya tegak lurus dengan cermin, yaitu garis PR.

Melukis Bayangan Hasil Pencerminan Suatu Bangun Datar
Selanjutnya mari kita berlatih untuk melukis bayangan dari bangun datar tertentu. Tentunya, kita harus menggunakan sifat-sifat dari pencerminan untuk melukis bayangan tersebut.
Diberikan suatu belah ketupat PQRS seperti gambar di bawah. Tentukan bayangan dari belah ketupat tersebut apabila dicerminkan terhadap garis a!

Perhatikan bahwa grid horizontal yang ada tegak lurus dengan garis a. Bayangan titik P, yaitu P’, tentunya segaris dengan titik P. Jarak titik P ke garis a adalah 11 satuan ke kiri. Akibatnya jarak titik P’ dengan cermin adalah 11 satuan ke kanan. Hal ini juga berlaku untuk titik-titik Q’, R’, dan S’ yang secara berturut-turut merupakan bayangan dari titik-titik Q, R, dan S. Titik Q’ akan segaris dengan titik Q dan berjarak 2 satuan ke kanan. Titik R’ akan segaris dengan titik R dan berjarak 4 satuan ke kanan. Sedangkan titik S’ akan segaris dengan S dan berjarak 13 satuan ke kanan.
Setelah ketemu posisi dari titik-titik P’, Q’, R’ dan S’, hubungkan keempat titik tersebut dengan ruas garis sehingga akan terbentuk belah ketupat P’Q’R’S’ yang merupakan bayangan dari belah ketupat PQRS. Berikut ini gambar dari belah ketupat PQRS dan bayangannya.

Selain dengan cara di atas, kita juga dapat melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan simetri lipat. Garis pencerminan akan menjadi sumbu simetri jika kita menggunakan cara tersebut.
Berikut ini ilustrasi untuk melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan simetri lipat.

Langkah pertama, kamu harus melukis objek yang akan ditentukan bayangannya dan garis pencerminannya pada kertas. Setelah itu, lipatlah kertas tersebut menurut garis pencerminannya. Jiplaklah objek pada sisi kertas yang lainnya. Terakhir, buka kembali kertas tersebut. Hasil jiplakan tersebut merupakan bayangan dari objek yang dimaksud.
Bagaimana? Apakah kamu sudah memahami penjelasan mengenai pencerminan bangun datar di atas? Apabila sudah paham, kamu dapat mengerjakan soal pemecahan masalah berikut.
Pemecahan Masalah
Mulan adalah seorang gadis kelas IV yang memiliki tinggi 120 cm. Ia biasanya bercermin dengan jarak 80 cm di depan cermin. Ia akan berencana pergi ke tukang cermin untuk memesan sebuah cermin. Ia akan memesan sebuah cermin dengan tinggi minimal, akan tetapi apabila dia bercermin, dia akan tetap melihat keseluruhan badannya, dari ujung kaki sampai ujung kepala. Bantulah Mulan untuk menghitung panjang cermin yang akan ia pesan tersebut! Bantulah juga di mana ia akan meletakkan cermin tersebut apabila cermin tersebut sudah jadi nantinya! (Anggap posisi mata Mulan berada 9 cm di bawah bagian teratas tubuhnya)

Semoga bermanfaat....

Read More

Trik Perkalian Cepat

Sering kali kita dihadapkan  padasebuah situasi dimana kita menghabiskan menit-menit kita hanya karena soal perkalian bilangan besar yang seharusnya bisa kita kerjakan di kalkulator dalam hitungan detik. Seperti menghitung 14 x 16 saja sudah bisa memangkas 10 detik kita. Padahal, 1 detik itu pun sangat menentukan ketika kita sedang menghadapi soal CPNS, SNMPTN, dan sebagainya. Nah, kali ini, kita akan membahas sebuah paradigma sederhana. Dimana dengan paradigma sederhana ini, bermacam-macam perkalian dengan angka besar dapat kita selesaikan sesegera mungkin!

Misal, Anda bertemu dengan sebuah soal 48 x 17 = …. Tidak sedikit orang yang masih menggunakan paradigma lama dengan cara mengalikannya ke bawah seperti yang mereka pelajari ketika kelas 2 SD. Nah, mari kita pelajari paradigma barunya. Singkatnya begini, kita membagi 2 dan mengalikan 2 pada soal kita.

Begini:
Soal kita adalah 48 x 17 = ….
Pada soal tersebut, ada 2 buah bilangan, yakni 48 dan 17.
Kita pilih salah satu bilanan untuk dibagi dengan angka 2 dan satu angka lainnya dikali dengan angka 2
Contohnya, 48 : 2 = 24, 17 x 2 = 34. Sehingga 48 x 17 = 24 x 34

Karena sebetulnya bagi dua dengan dua itu sama dengan 2/2, yakni dikali 1
Jadi hasilnya tetap.
Namun, apabila bentuk baru perkalian yang kita dapatkan masih juga sulit untuk dikerjakan, teruslah kita sederhanakan lagi.
24 x 34 = 12 x 68
12 x 68 = 6 x 136
6 x 136 = 3 x 272 = …. Nah, akhirnya kita dapat perkalian yang mudah. Baiklah, langsung kita kerjakan.
3 x 272 = 816. Selesai.
Sekarang kita coba soal lain, kita ambil satu perkalian yang kita temukan di awal pembicaraan tadi.
Yaitu, 14 x 16 = ….
14 x 16 = 28 x 8
28 x 8 = 56 x 4
56 x 4 = 112 x 2
112 x 2 = 224
Selesai.
Sekarang Anda sudah mengerti kan?
Memang, sebetulnya lebih mudah menghitung 6 x 30 daripada 12 x 15. Juga lebih mudah menghitung 122 x 2 daripada 14 x 16.
Rasanya jurus ini begitu sederhana, namun ketahuilah, sepanjang pengalaman saya dalam menyelesaikan soal hitung-hitungan maupun perhitungan dalam persoalan kehidupan sehari-hari, jurus ini membuat saya lebih cepat selesai dibandingkan dengan orang-orang di sekitar saya yang belum pernah tahu jurus ini. Saya sangat menyarankan Anda untuk segera mencobanya.

Oke, sekarang saatnya berlatih.

Kerjakanlah soal-soal berikut dengan jurus ini.
24 x 28 = …
24 x 18 = …
94 x 12 = …
62 x 34 = …
284 x 40 = …
1000 x 10 = …
500 x 500 = …
78 x 54 = …
7,4 x 5,8 = …
3,14 x 2 x 3,14 = …

Baiklah, cukup sekian dulu.

Semoga bermanfaat.....

Read More

Media Pembelajaran Matematika

Tidak jarang Mata Pelajaran Matematika menjadi momok bagi para siswa, keadaan seperti ini jika dibiarkan berlarut-larut akan berakibat sangat tidak baik. Media Pembelajaran interaktif sangat diperlukan untk mempermudah guru menyampaikan materi dan siswa menerima materi. Berikut contoh media pembelajaran Matematika, silahkan didownload semoga bermanfaat :

1.    Garis singgung lingkaran download

2.    KPK download

3.    Membandingkan dan Mengurutkan download

4.    Penjumlahan dan Pengurangan download

5.    Perkalian dan Pembagian download

6.    Persamaan Linear dengan Metode Grafik download

7.    Persamaan linier dua variabel download

8.    Teorema Pythagoras download

Sumber: http://ptkguru.com

Read More